Question

四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面ABCD，且ABCD是菱形，AC、BD相交于点O，AB=BC=2，AA₁=4，∠ABC=60°．
（1）求证：BD⊥平面ACC₁A₁；
（2）求A₁B与平面ACC₁A₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）先利用直线与平面垂直的性质证明出AA₁⊥BD，在由平行四边形ABCD中的已知条件推导出AC⊥BD，由此能够证明BD⊥平面ACC₁A₁．
（2）连结A₁O，由（1）知A₁B在平面ACC₁A₁内的射影是A₁O，从而得到A₁B与平面ACC₁A₁所成的角是∠BA₁O，由此能求出A₁B与平面ACC₁A₁所成角的正弦值．

解答：（1）证明：在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵AA₁⊥平面ABCD，
∴AA₁⊥BD，
平行四边形ABCD中，
∵AB=BC，∴AC⊥BD，
∵AA₁∩AC=A，∴BD⊥平面ACC₁A₁．
（2）连结A₁O，由（1）知A₁B在平面ACC₁A₁内的射影是A₁O，
则A₁B与平面ACC₁A₁所成的角是∠BA₁O，
∵在平行四边形ABCD中，AB=BC=2，∠ABC=60°，
∴BO=

3

，
∵AA₁=4，AB=2，∴A1B=2

5

，
∴在Rt△A₁OB中，sin∠BA₁O=

BO

A1B

=

3

2 5

=

15

10

．
∴A₁B与平面ACC₁A₁所成角的正弦值是

15

10

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值，解题时要注意空间思维能力的培养．