Question

13．已知函数f（x）=$\sqrt{{x^2}+8x+16}$+$\sqrt{{x^2}-10x+25}$．
（1）求不等式f（x）≥f（-4）的解集；
（2）设函数g（x）=k（x-5），k∈R，若f（x）＞g（x）对任意x∈R都成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将f（x）=$\sqrt{{x^2}+8x+16}$+$\sqrt{{x^2}-10x+25}$化简为f（x）=|x+4|+|x-5|，不等式f（x）≥f（-4）?|x+4|+|x-5|≥9，分类讨论，去掉绝对值符号，分别解之即可求得不等式f（x）≥f（-4）的解集；
（2）f（x）＞g（x）对任意x∈R都成立，即f（x）=|x+4|+|x-5|的图象恒在g（x）=k（x-5）图象的上方，在同一坐标系中作出两函数的图象，数形结合即可求得k的取值范围．

解答 解：（1）$f（x）=\sqrt{{x^2}+8x+16}+\sqrt{{x^2}-10x+25}=|x+4|+|x-5|$
∴f（x）≥f（-4）即|x+4|+|x-5|≥9（2分）
∴$\left\{\begin{array}{l}x≤-4\\-x-4-x+5≥9\end{array}\right.$，解得x≤-4；或$\left\{\begin{array}{l}-4＜x≤5\\ x+4-x+5≥9\end{array}\right.$，解得-4＜x≤5；或$\left\{\begin{array}{l}x＞5\\ x+4+x-5≥9\end{array}\right.$，解得x＞5
所以f（x）≥f（4）的解集为R．（5分）
（2）f（x）＞g（x）即f（x）=|x+4|+|x-5|的图象恒在g（x）=k（x-5）图象的上方，
由f（x）=|x+4|+|x-5|=$\left\{\begin{array}{l}{-2x+1，x≤-4}\\{9，-4＜x≤5}\\{2x-1，x＞5}\end{array}\right.$，g（x）=k（x-5）图象为恒过定点P（5，0）且斜率k变化的一条直线，作函数y=f（x），y=g（x）图象如图，其中k_PB=2，A（-4，9），
∴k_PA=-1，

由图可知，要使得f（x）的图象恒在g（x）图象的上方，
∴实数k的取值范围为-1＜k≤2．（10分）

点评 本题考查函数恒成立问题，突出考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论思想、等价转化思想与数形结合思想的综合运用，属于难题．