Question

求函数y=sin（x+

π

6

）sin（x-

π

6

）+acosx的最大值．（其中a为定值）

Answer 1

分析：利用两角和差的三角公式化简函数解析式并换元得 y=f(t)=-t2+at+

3

4

，对称轴为t=

a

2

，分

a

2

≤-1、-1＜

a

2

＜1、

a

2

≥1三种情况，利用函数的单调性分别求出最大值．

解答：解：函数y=sin（x+

π

6

）sin（x-

π

6

）+acosx=-cos2x+acosx+

3

4

，
设t=cosx，则f(t)=-t2+at+

3

4

，对称轴为t=

a

2

．
（1）当

a

2

≤-1，即a≤-2时，函数在[-1，1]上单调递减，∴ymax=f(t)max=f(-1)=-a-

1

4

．
（2）当-1＜

a

2

＜1，即-2＜a＜2时，函数在[-1，1]先增后减，∴ymax=f(t)max=f(

a

2

)=

a2

4

+

3

4

．
（3）当

a

2

≥1，即a≥2时，函数在[-1，1]上单调递增，∴ymax=f(t)max=f(1)=a-

1

4

．
综上所述，当a≤-2时，∴ymax=-a-

1

4

； 
当-2＜a＜2时，∴ymax=

a2

4

+

3

4

；
当a≥2时，∴ymax=a-

1

4

．

点评：本题考查二次函数的性质，余弦函数的值域，体现了分类讨论的数学思想，分类讨论是解题的难点．