Question

13．${∫}_{-a}^{a}$x²[f（x）-f（-x）+2]dx=4a．

Answer 1

分析 利用换元法，结合定积分的线性运算法则，即可求出对应的结果．

解答 解：${∫}_{-a}^{a}$x²[f（x）-f（-x）+2]dx=${∫}_{-a}^{a}$x²f（x）dx-${∫}_{-a}^{a}$x²f（-x）dx+${∫}_{-a}^{a}$2dx，
设t=-x，则dt=d（-x），
所以${∫}_{-a}^{a}$x²f（-x）dx=${∫}_{a}^{-a}$t²f（t）（-dt）=${∫}_{-a}^{a}$t²f（t）dt，
所以原式=${∫}_{-a}^{a}$x²f（x）-${∫}_{-a}^{a}$t²f（t）dt+${∫}_{-a}^{a}$2dx=2x${|}_{-a}^{a}$=4a．
故答案为：4a．

点评 本题考查了定积分的计算问题，也考查了换元法与转化思想的应用问题，是中档题．