Question

3．已知A、B、C、D为同一平面上的四个点，且满足AB=2，BC=CD=DA=1，∠BAD=θ，△ABD的面积为S，△BCD的面积为T．
（1）当θ=$\frac{π}{3}$时，求T的值；
（2）当S=T时，求cosθ的值．

Answer 1

分析 （1）在△ABD中，由余弦定理求出BD，cos∠BCD，由此能出△BCD的面积T．
（2）由S=$\frac{1}{2}AD•AB•sin∠BCD=sinθ$，得到sinθ=$\frac{1}{2}sin∠BCD$，从而4sin²θ=sin²∠BCD=1-cos²∠BCD=1-（$\frac{4cosθ-3}{2}$）²，由此能求出cosθ．

解答 解：（1）在△ABD中，由余弦定理得BD²=AB²+AD²-2AB•ADcosθ=3，
∴BD=$\sqrt{3}$，
在△BCD中，由余弦定理得cos∠BCD=$\frac{B{C}^{2}+C{D}^{2}-B{D}^{2}}{2BC•CD}$=$\frac{{1}^{2}+{1}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}{2×1×1}$=-$\frac{1}{2}$，
∴∠BCD=120°，
∴T=$\frac{1}{2}×BC×CD×sin∠BCD$=$\frac{1}{2}×1×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
（2）S=$\frac{1}{2}AD•AB•sin∠BCD=sinθ$，
BD²=AD²+AB²-2AD•ABcosθ=5-4cosθ，
cos∠BCD=$\frac{B{C}^{2}+C{D}^{2}-B{D}^{2}}{2BC•CD}$=$\frac{4cosθ-3}{2}$，
T=$\frac{1}{2}CD•BC•sin∠BCD$=$\frac{1}{2}sin∠BCD$，
∵S=T，∴sinθ=$\frac{1}{2}sin∠BCD$，
∴4sin²θ=sin²∠BCD=1-cos²∠BCD=1-（$\frac{4cosθ-3}{2}$）²，
解得cosθ=$\frac{7}{8}$．

点评 本题考查三角形面积的求法，考查角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．