Question

（本小题满分14分）

已知函数，

   （Ⅰ）若时，求曲线在点处的切线方程；

   （Ⅱ）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；

   （Ⅲ）令，是否存在实数，当（是自然对数的底）时，函数 的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）当时，                ………1分

所以，又    ……2分

所以曲线在点处的切线方程为；… 3分

（Ⅱ）因为函数在上是减函数，所以：

在上恒成立，  ……4分

       令 ，有  得     …6分

       得 ；                                ……7分

 （Ⅲ）假设存在实数，使（）有最小值3，

                                            

      ①当时，，所以：

在上单调递减，，（舍去），

②当时，在上恒成立

所以在上单调递减，，（舍去）………10分

                                    ③当时，令，

所以在上单调递减，在上单调递增

，，满足条件．    ………12分

 综上，存在实数，使得当时有最小值3．……14分

 

【解析】略