题目内容
用函数单调性定义证明，函数f（x）=x3+
在[1，+∞）上是增函数．
| 1 |
| x |
证明：在[1，+∞）上任取x1，x2且x1＜x2
则f（x2）-f（x1）=x23-x13+
-
=（x2-x1）（x12+x1x2+x22）+
∵x1＜x2，
∴x2-x1＞0．
当x1x2＜0时，有x12+x1x2+x22=（x1+x2）2-x1x2＞0；
当x1x2≥0时，有x12+x1x2+x22＞0；
∴f（x2）-f（x1=（x2-x1）（x12+x1x2+x22）+
＞0．
即f（x2）＞f（x1）
所以，函数f（x）=x3+
在[1，+∞）上是减函数．
则f（x2）-f（x1）=x23-x13+
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
| (x2-x1) |
| x1x2 |
∵x1＜x2，
∴x2-x1＞0．
当x1x2＜0时，有x12+x1x2+x22=（x1+x2）2-x1x2＞0；
当x1x2≥0时，有x12+x1x2+x22＞0；
∴f（x2）-f（x1=（x2-x1）（x12+x1x2+x22）+
| (x2-x1) |
| x1x2 |
即f（x2）＞f（x1）
所以，函数f（x）=x3+
| 1 |
| x |
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