Question

已知函数f(x)=

x

x+1

，
（1）用函数单调性定义证明：f（x）在（-1，+∞）是增函数；
（2）试求f(x)=

2x

2x+1

在区间[1，2]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（1）任取x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁＜x₂，讨论f（x₁）-f（x₂）的符号，进而根据函数单调性的定义可得答案．
（2）令t=2^x，则t∈[2，4]，根据（1）的定义，分析出函数g(t)=

t

t+1

在[2，4]的单调性，进而可得函数的最值．

解答：解：（1）任取x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=(1-

1

x1+1

)-(1-

1

x2+1

)=

1

x2+1

-

1

x1+1

=

x1-x2

(x1+1)(x2+1)

∵x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁＜x₂，
∴x₁+1＞0，x₂+1＞0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）为（-1，+∞）上的增函数．
（2）令t=2^x，则t∈[2，4]，
由（1）可知g(t)=

t

t+1

在[2，4]上为增函数，
则fmin=g(2)=

2

3

，
fmax=g(4)=

4

5

．

点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质，函数单调性的证明与应用，其中熟练掌握定义法证明函数单调性的方法和步骤是解答的关键．