Question

已知函数f（x）=2^x+2^-x．
（1）用函数单调性定义证明：f（x）是区间（0，+∞）上的增函数；
（2）若f（x）=5•2^-x+3，求x的值．

Answer 1

分析：（1）用函数单调性的定义，当0＜x₁＜x₂时，判断f（x₁）-f（x₂）是否大于0，进而判断函数的单调性．
（2）令t=2^x，根据f（x）=5•2^-x+3，可得到二次方程t²-3t-4=0，解出t的值，进而可求出x的值．

解答：解：（1）当0＜x₁＜x₂时，
f(x1) -f(x2)=2x1+2-x1-2x2-2-x2，（2分）
因x₁＜x₂，则2x1＜2x2，（3分）
可知f(x1) -f(x2)=2x1+2-x1-2x2-2-x2＜0，（5分）
故证得f（x）是区间（0，+∞）上的增函数；  （6分）
（2）令t=2^x，
根据f（x）=5•2^-x+3，
可得t²-3t-4=0，（8分）
解方程得t=4，t=-1（因t＞0舍去），（10分）
进而可得x=2．（14分）

点评：此题主要考查利用函数单调性定义证明函数单调性的方法及相关计算．