Question

用函数单调性定义证明，函数f（x）=x³+

1

x

在[1，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析：利用原始的定义进行证明，在[1，+∞）上任取x₁，x₂且x₁＜x₂，只要证f（x₂）＞f（x₁）就可以可，把x₁和x₂分别代入函数f（x）=x³+

1

x

进行证明．

解答：证明：在[1，+∞）上任取x₁，x₂且x₁＜x₂
则f（x₂）-f（x₁）=x₂³-x₁³+

1

x1

-

1

x2

=（x₂-x₁）（x₁²+x₁x₂+x₂²）+

(x2-x1)

x1x2

∵x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0．
当x₁x₂＜0时，有x₁²+x₁x₂+x₂²=（x₁+x₂）²-x₁x₂＞0；
当x₁x₂≥0时，有x₁²+x₁x₂+x₂²＞0；
∴f（x₂）-f（x₁=（x₂-x₁）（x₁²+x₁x₂+x₂²）+

(x2-x1)

x1x2

＞0．
即f（x₂）＞f（x₁）
所以，函数f（x）=x³+

1

x

在[1，+∞）上是减函数．

点评：此题主要考查函数的单调性，解题的关键是利用原始定义进行证明，是一道基础题．