Question

证明f(x)=|sinx|+|cosx|的最小正周期为.

Answer 1

证明：(1)f(x+)=|sin(x+)|+|cos(x+)|=|cosx|+|sinx|=f(x).

(2)假设存在0＜T＜使f(x+T)=f(x),

即|sin(x+T)|+|cos(x+T)|=|sinx|+|cosx|.

令x=0,得sinT+cosT=1,

即sin(T+)=.

又0＜T＜，＜T+＜,∴sin(T+)＞，此为矛盾.

由(1)(2)两步可知为f(x)=|sinx|+|cosx|的最小正周期.