Question

证明f(x)=|sinx|+|cosx|的一个周期是,并求函数f(x)的值域.

Answer 1

思路分析:周期函数的证明只能利用周期函数的定义f(x+T)=f(x)证明.函数的值域可化为同名函数求.如化为

f(x)=Asin(ωx+φ)+b形式.

解:函数f(x)=|sinx|+|cosx|的定义域为R,

f(x+)

=|sin(x+)|+|cos(x+)|

=|cosx|+|sinx|=f(x).

∴函数f(x)=|sinx|+|cosx|的一个周期为.

    当0≤x≤时,f(x)=sinx+cosx=sin(x+),

    由≤x+≤知f(x)=sin(x+)的值域为［1,］.

    因此由函数的周期性知f(x)=|sinx|+|cosx|,x∈R的值域为［1,］.