题目内容

证明f(x)=sinx+cosx不是周期函数.

证明：假设f(x)=sinx+cosx是周期函数，则存在T≠0使f(x+T)=f(x)，即

sin(x+T)+cos(x+T)=sinx+cosx.

令x=0，sinT+cosT=1，                               ①

令x=-T，sin(-T)+cosT=1,                            ②

由①②得sinT=sin(-T),

∴T=0.与T≠0矛盾.

因此f(x)=sinx+cosx不是周期函数.

上述有关最小正周期和非周期函数的证明都是采用了反证法.


练习册系列答案
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设函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，-
π
2
＜φ＜
π
2
)，给出下列三个论断：
①f（x）的图象关于直线x=-
π
6
对称；
②f（x）的周期为π；
③f（x）的图象关于点(
π
12
，0)对称．
以其中的两个论断为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题，并对该命题加以证明．
已知函数f(x)=sin(ωx+
π
6
)+sin(ωx-
π
6
)-2cos2
ωx
2
，x∈R（其中ω＞0）
（I）求函数f（x）的值域；
（II）若对任意的a∈R，函数y=f（x），x∈（a，a+π]的图象与直线y=-1有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值（不必证明），并求函数y=f（x），x∈R的单调增区间．

设函数f(x)=sin(2x+φ),(-π<φ<0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=

(Ⅰ)求φ；

(Ⅱ)求函数y=f(x)的单增区间；

(Ⅲ)证明直线5x-2y+c=0与函数y=f(x)的图像不相切.

 
已知函数f(x)=sin(ωx+
π
6
)+sin(ωx-
π
6
)-2cos2
ωx
2
，x∈R（其中ω＞0）
（I）求函数f（x）的值域；
（II）若对任意的a∈R，函数y=f（x），x∈（a，a+π]的图象与直线y=-1有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值（不必证明），并求函数y=f（x），x∈R的单调增区间．
证明f(x)=sin不是周期函数.

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