Question

（2013•合肥二模）已知椭圆：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的长轴长为4，且过点（

3

，

1

2

）．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设A，B，M是椭圆上的三点．若

OM

=

3

5

OA

+

4

5

OB

，点N为线段AB的中点，C（-

6

2

，0），D（

6

2

，0），求证：|NC|+|ND|=2

2

．

Answer 1

分析：（I）利用椭圆长轴长为4，且过点（

3

，

1

2

），求出几何量，即可求椭圆的方程；
（II）证明线段AB的中点N在椭圆

x2

2

+2y2=1上，利用椭圆的定义，即可得到结论．

解答：（Ⅰ）解：由题意：2a=4，所以a=2，
∵橢圆：

x2

a2

+

y2

b2

=1过点（

3

，

1

2

），
∴

3

4

+

1

4b2

=1
∴b²=1
∴所求椭圆方程为

x2

4

+y2=1；
（II）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

x12

4

+y12=1，

x22

4

+y22=1
∵

OM

=

3

5

OA

+

4

5

OB

，
∴M（

3

5

x1+

4

5

x2，

3

5

y1+

4

5

y2）
∴

( 3 5 x1+ 4 5 x2)2

4

+(

3

5

y1+

4

5

y2)2=1
∴

x1x2

4

+y1y2=0
∵点N为线段AB的中点
∴N（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

）
∴

( x1+x2 2 )2

2

+2(

y1+y2

2

)2=

1

2

(

x12

4

+y12)+

1

2

(

x22

4

+y22)+

x1x2

4

+y1y2=1
∴线段AB的中点N在椭圆

x2

2

+2y2=1上
∵椭圆

x2

2

+2y2=1的两焦点为C（-

6

2

，0），D（

6

2

，0），
∴|NC|+|ND|=2

2

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆定义的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．