题目内容
【题目】已知函数。
(Ⅰ)当a=2,求函数f(x)的图象在点(1,f(1) )处的切线方程;
(Ⅱ)当a>0时,求函数f(x)的单调区间。
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】【试题分析】(1)先求当时,函数
的导数,求出切线的斜率,再运用直线的点斜式方程求出切线的方程;(2)先对含参数的函数解析式
进行求导,再运用分类整合的数学思想,对实数
进行分类讨论函数的单调性,分别求出其单调区间:
(1)当时,
,
,
函数
的图象在点
处的切线方程为
.
(2)由题知,函数的定义域为
,
,
令,解得
,
(I) 当时,所以
,在区间
和
上
;在区间
上
,故函数
的单调递增区间是
和
,单调递减区间是
.-
(II)当a=2时,f’(x)>=0 恒成立,故函数f(x)的单调递增区间是(0,+∞)
(III)当1<a<2时,a-1<1,在区间(0,a-1),和(1,+∞)上f’(x)>0 ;在(a-1,1)上f’(x)<0 ,故函数的单调递增区间是(0,a-1),(1,+∞),单调递减区间是(a-1,1)
(IV)当a=1时,f’(x)=x-1, x>1时f’(x)>0, x<1时f’(x)<0,
函数的单调递增区间是 (1,+∞), 单调递减区间是
(V)当0<a<1时,a-1<0,函数的单调递增区间是 (1,+∞),
单调递减区间是,
综上,(I)时函数
的单调递增区间是
和
,单调递减区间是
(II) a=2时,函数f(x)的单调递增区间是(0,+∞)-
(III) 当0<a<2时,函数的单调递增区间是(0,a-1),(1,+∞),单调递减区间是(a-1,1)
(IV)当0<a≤1时,函数的单调递增区间是 (1,+∞), 单调递减区间是
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