Question

【题目】已知函数， （为自然对数的底数）．

（Ⅰ）讨论函数的极值点的个数；

（Ⅱ）若函数的图象与函数的图象有两个不同的交点，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析; （Ⅱ）.

【解析】试题分析:(1)对函数 进行求导,根据基本不等式得出 的范围,按照 的最小值是否在定义域内分两类讨论,: ①当， 在上单调递增，所以没有极值点；②当，转化为方程正数解的个数;(2) 函数的图象与函数的图象有两个不同的交点，转化为由两个不同的根，通过参变分离,构造新的函数,求导判断单调性与最值,求出参数的范围.

试题解析:（Ⅰ），

∵，∴，

①当，即时， 对恒成立， 在上单调递增，所以没有极值点；

②当，即时，方程有两个不等正数解， ，

，

不妨设，则当时， ， 为增函数；当时， ， 为减函数； 时， ， 为增函数，所以， 分别为极大值点和极小值点，即有两个极值点．

综上所述，当时， 没有极值点；当时， 有两个极值点．

（Ⅱ）令，得，即，

∵，∴，

令（），

，

∵，∴时， ， 为减函数；

时， ， 为增函数，∴，

当时， ，当时， ，

∵函数图象与函数图象有两个不同交点，∴实数的取值范围为．