Question

已知二次函数f（x）=x²-mx+m-1．m∈R                                                
（1）函数f（x）在区间（-1，1）上的最小值为g（m），求g（m）的解析式；                       
（2）求（1）中g（m）的最大值；
（3）若函数y=|f（x）|在[2，4]上单调递增，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）通过对m的讨论求出各个区间上g（m）的表达式，（2）由g（m）的表达式和m的取值范围求出即可．（3）由题意列出不等式组解出即可．

解答： 解：（1）由题意得：对称轴x=-

-m

2

=

m

2

，
①当x=

m

2

≤-1，即m≤-2时，
g（m）=f（x）_最小=f（-1）=1+m+m-1=2m；
②-1＜

m

2

＜1，即-2＜m＜2时，
g（m）=f（x）_最小=f（

m

2

）=(

m

2

)2-m•

m

2

+m-1=-

m2

4

+m-1；
③当

m

2

≥1，即m≥2时，
g（m）=f（x）_最小=f（1）=1-m+m-1=0；
综合①②③得：
g（m）=

2m，               (m≤-2) - m2 4 +m-1，(-2＜m＜2) 0，                  (m≥2)

．
（2）当m≤-2时，g（m）_最大=-4，
当-2＜m＜2时，g（m）=-

1

4

（m-2）²＜0，无最大值；
当m≥2时，g（m）=0，
∴g（m）的最大值是：0．
（3）由题意得：

f(2)≥0 m 2 ＜2

，
解得：m≤3．
或

m 2 ≥4 f(2)≤0 f(4)＜0

，解得：m≥8．
∴m的范围是：（-∞，3]∪[8，+∞）．

点评：本题考察了二次函数的性质，函数的最值问题，渗透了分类讨论思想，是一道中档题．