Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足：S_n=n-a_n，
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）求证：数列{a_n-1}是等比数列，并求{a_n}通项公式；
（3）令b_n=（2-n）（a_n-1），（n=1，2，3…），如果对任意n∈N^*，都有b_n+

1

4

t≤t2，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的应用

专题：函数的性质及应用,等差数列与等比数列

分析：（1）由已知中S_n=n-a_n，将n=1，2，3分别代入，可得a₁，a₂，a₃的值；
（2）由已知可知：a₁+a₂+a₃+…+a_n-1+a_n=n-a_n①，a₁+a₂+a₃+…+a_n+a_n+1=n+1-a_n+1②，②-①可得2a_n+1-a_n=1，即：an+1-1=

1

2

(an-1)，进而可得数列{a_n-1}是等比数列，结合a1-1=-

1

2

，可得{a_n}通项公式；
（3）由（2）可得an=1-(

1

2

)n，bn=

n-2

2n

，进而求出b_n的最大值，结合二次函数的图象和性质，可得实数t的取值范围．

解答： 解：（1）∵S_n=n-a_n，
∴S₁=1-a₁，
∴a₁=

1

2

，
同理S₂=2-a₂，
∴a₂=

3

4

，
S₃=2-a₃，
∴a₃=

7

8

，
∴a1=

1

2

，a2=

3

4

，a3=

7

8

，…（3分）
证明：（2）由已知可知：a₁+a₂+a₃+…+a_n-1+a_n=n-a_n①
a₁+a₂+a₃+…+a_n+a_n+1=n+1-a_n+1②…（5分）
②-①可得2a_n+1-a_n=1…（6分）
即：an+1-1=

1

2

(an-1)，又a1-1=-

1

2

…（8分）
所以数列{a_n-1}是以-

1

2

为首项，以

1

2

为公比的等比数列．
即an=1-(

1

2

)n…（10分）
解：（3）由（2）可得an=1-(

1

2

)n，bn=

n-2

2n

由bn+1-bn=

n+1-2

2n+1

-

n-2

2n

=

n-1-2(n-2)

2n+1

=

3-n

2n+1

＞0，
可得n＜3，
由b_n+1-b_n＜0可得n＞3，
所以 b₁＜b₂＜b₃=b₄＞b₅＞…＞b_n＞…，故b_n有最大值b3=b4=

1

8

，
所以，对任意n∈N^*，有bn≤

1

8

…（13分）
如果对任意n∈N^*，都有bn+

1

4

t≤t2，即bn≤t2-

1

4

t成立，
则(bn)max≤t2-

1

4

t，
故有：

1

8

≤t2-

1

4

t，
解得t≥

1

2

或t≤-

1

4

．
所以实数t的取值范围是(-∞，-

1

4

]∪[

1

2

，+∞)．…（16分）

点评：本题考查的知识点是数列，及数列的应用，（1）、（2）两问目标明确、思路清楚，第（3）问应是采用分离参数的方法解决恒成立问题，具体来说，就是解不等式(bn)max≤t2-

1

4

t．