Question

10．已知函数f（x）=x+ae^x（a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当x＜0，a≤1时，证明：x²+（a+1）x＞xf′（x）．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，讨论a的范围，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）问题转化为证明：x+a＜（a+1）e^x，（x＜0，a≤1），令g（x）=x+a-（a+1）e^x，（x＜0，a≤1），根据函数的单调性证明即可．

解答 解：（1）f′（x）=1+（a+1）e^x，
a≥-1时，a+1≥0，f′（x）＞0，f（x）在R递增，
a＜-1时，令f′（x）＞0，解得：x＜-ln（-a-1），
令f′（x）＜0，解得：x＞-ln（-a-1），
∴f（x）在（-∞，-ln（-a-1））递增，在（-ln（-a-1），+∞）递减；
（2）f′（x）=1+（a+1）e^x，x＜0时，
问题转化为为证明：x+a＜（a+1）e^x，（x＜0，a≤1），
令g（x）=x+a-（a+1）e^x，（x＜0，a≤1），
g′（x）=1-（a+2）e^x，
①a+2≤0即a≤-2时，g′（x）＞0，g（x）在（-∞，0）递增，
∴g（x）＜g（0）=-1＜0成立，
②-2＜a≤-1时，$\frac{1}{a+2}$≥1，令g′（x）=0，解得：x=ln$\frac{1}{a+2}$≥0，
g（x）在（-∞，0）递增，
∴g（x）＜g（0）=-1＜0成立，
③-1＜a≤1时，1＜a+2≤3，$\frac{1}{3}$≤$\frac{1}{a+2}$＜1，
-ln3≤ln$\frac{1}{a+2}$＜0，
∴g（x）在（-∞，ln$\frac{1}{a+2}$）递增，在（ln$\frac{1}{a+2}$，0）递减，
g（x）max=g（ln$\frac{1}{a+2}$）=-ln（a+2）+a-$\frac{a+1}{a+2}$＜0，成立，
综上，当x＜0，a≤1时，x²+（a+1）x＞xf′（x）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道综合题．