Question

6．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n=2-3S_n（n∈N^*）．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₂a_n，求数列{a_n+b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用公式a_n=S_n-S_n-1判断{a_n}为等比数列，再得出通项公式；
（II）先求出b_n得出{b_n}为等差数列，将两数列分别求和得出T_n．

解答 解（Ⅰ）当n≥2时，由a_n=2-3S_n①，得a_n-1=2-3S_n-1②，
①-②即得4a_n=a_n-1，
而当n=1时，a₁=2-3a₁，故${a_1}=\frac{1}{2}$，
因而数列{a_n}是首项为$\frac{1}{2}$公比为$\frac{1}{4}$的等比数列，
∴${a_n}=\frac{1}{2}•{（{\frac{1}{4}}）^{n-1}}={（{\frac{1}{2}}）^{2n-1}}，n∈{N^*}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知${a_n}={（{\frac{1}{2}}）^{2n-1}}$，故b_n=1-2n．
∴{b_n}是以-1为首项，以-2为公差的等差数列．
数列{a_n+b_n}的前n项和T_n=（a₁+a₂+…+a_n）+（b₁+b₂+…+b_n）
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$+$\frac{（-1+1-2n）n}{2}$=$\frac{2}{3}$-n²-$\frac{2}{3•{4}^{n}}$．

点评 本题考查了等差，等比关系的判断，数列的求和公式，属于中档题．