Question

【题目】设函数且x，．

（1）判断的奇偶性，并用定义证明；

（2）若不等式在上恒成立，试求实数a的取值范围；

（3）的值域为函数在上的最大值为M，最小值为m，若成立，求正数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）奇函数；见解析（2）；（3）

【解析】

（1）可看出是奇函数，根据奇函数的定义证明即可；

（2）由题意可得出在上恒成立，然后令，，从而得出，只需，配方求出y的最小值，即可求解；

（3）容易求出，从而得出时，，可讨论a：容易得出时，不符合题意；时，可知在上是减函数，在上是增函数，从而可讨论，和，然后分别求出在上的最小值和最大值，根据求出a的范围即可．

的定义域为，

且，

为奇函数；

若不等式在上恒成立，

即在上恒成立，

即在上恒成立，

令，则，，

当，即时，函数取最小值，故；

是上的减函数，

在上的值域为，

在区间上，恒有，

时，在上单调递增，

，，

，解得，不满足；

时，在上是增函数，

，，不满足题意；

时，在上单调递减，在上单调递增，

，即时，在上是增函数，

，，

，解得；

，即时，在上单调递减，

，，

，解得；

，即时，在上单调递减，

在上单调递增，

，，

当，即时，，

解得，，

当，即时，，

解得，，

综上，a的取值范围是．