Question

4．已知函数f（x）=2^x+cosα-2^-x+cosα，x∈R，且$f（1）=\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$．
（1）若0≤α≤π，求α的值；
（2）当m＜1时，证明：f（m|cosθ|）+f（1-m）＞0．

Answer 1

分析 （1）由f（1），解方程和特殊三角函数值，即可得到；
（2）运用余弦函数的性质和参数分离，结合函数的单调性和奇偶性，即可得证．

解答 解：（1）$f（1）=\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$，${2^{1+cosα}}-{2^{-1+cosα}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$，
${2^{cosα}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…（2分）
$cosα=-\frac{1}{2}$…（3分）
由0≤α≤π，
∴$α=\frac{2π}{3}$…（7分）
（2）证明：∵m＜1，若|cosθ|≠1，则$\frac{1}{{1-|{cosθ}|}}≥1$，…（9分）
∴$m＜\frac{1}{{1-|{cosθ}|}}$，m（|cosθ|-1）＞-1，m|cosθ|＞m-1，
又|cosθ|=1时左式也成立，∴m|cosθ|＞m-1…（11分）
由（1）知，$f（x）={2^{x-\frac{1}{2}}}-{2^{-x-\frac{1}{2}}}$，在x∈R上为增函数，且为奇函数，…（13分）
∴f（m|cosθ|）＞f（m-1）∴f（m|cosθ|）+f（1-m）＞0…（15分）

点评 本题考查三角函数的求值和不等式的证明，考查参数分离和运算能力，属于中档题．