Question

19．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$满足下列条件：
 ①周期T=π；②图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位长度后关于y轴对称； ③f（0）=1．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设α，β∈（0，$\frac{π}{4}$），f（α-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{10}{13}$，f（β+$\frac{π}{6}$）=$\frac{6}{5}$，求cos（2α-2β）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据f（x）的周期求出ω的值，根据f（x）的图象平移以及g（x）的图象关于y轴对称，求出φ的值，再由f（0）=1求出A的值，即得f（x）的解析式；
（Ⅱ）根据f（α-$\frac{π}{3}$）与f（β+$\frac{π}{6}$）的值求出cos2α、cos2β，再根据α、β的范围求出sin2α、sin2β，从而求出cos（2α-2β）的值．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）的周期为T=$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2；
又函数f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位长度，
变为g（x）=Asin[2（x+$\frac{π}{6}$）+φ]，
由题意，g（x）的图象关于y轴对称，
∴2×$\frac{π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z；
又|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$，
∴函数f（x）=Asin（2x+$\frac{π}{6}$）；
又f（0）=1，∴Asin$\frac{π}{6}$=1，解得A=2，
∴函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）；
（Ⅱ）由f（α-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{10}{13}$，f（β+$\frac{π}{6}$）=$\frac{6}{5}$，
得2sin（2α-$\frac{2π}{3}$+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{10}{13}$，
2sin（2β+$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{6}{5}$，
∴cos2α=$\frac{5}{13}$，cos2β=$\frac{3}{5}$；
又α、β∈（0，$\frac{π}{4}$），
∴2α、2β∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴sin2α=$\frac{12}{13}$，sin2β=$\frac{4}{5}$，
∴cos（2α-2β）=cos2αcos2β+sin2αsin2β
=$\frac{5}{13}$×$\frac{3}{5}$+$\frac{12}{13}$×$\frac{4}{5}$=$\frac{63}{65}$．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角函数的恒定变换应用问题，是基础题目．