Question

已知cos（α+β）+cos（α-β）=

4

5

，sin（α+β）+sin（α-β）=

3

5

，求：
（1）tanα；
（2）

2(cos α 2 )2-3sinα-1

2 sin(α+ π 4 )

．

Answer 1

分析：（1）化简已知条件可得2cosαcosβ=

4

5

，2sinαcosβ=

3

5

，相除可得tanα 的值．
（2）把要求的式子利用二倍角公式、两角和的正弦公式化为

cosα-3sinα

sinα+cosα

，再利用同角三角函数的基本关系化为

1-tanα

tanα+1

，从而求得结果．

解答：解：（1）∵已知cos（α+β）+cos（α-β）=

4

5

，sin（α+β）+sin（α-β）=

3

5

，
∴2cosαcosβ=

4

5

，2sinαcosβ=

3

5

，相除可得tanα=

3

4

．
（2）

2(cos α 2 )2-3sinα-1

2 sin(α+ π 4 )

=

cosα-3sinα

2 (sinαcos π 4 +cosαsin π 4 )

=

cosα-3sinα

sinα+cosα

=

1-tanα

tanα+1

=

1

7

．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，同角三角函数的基本关系，属于中档题．