题目内容
12.已知椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,其左顶点到上顶点的距离为$\sqrt{3}$.(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)直线l是过椭圆右焦点F且斜率为k的直线,已知直线l交椭圆于M,N两点,若椭圆上存在一点P,满足$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=λ\overrightarrow{OP}$,求当$|{\overrightarrow{OP}}|=2|k|$时,k的值.
分析 (Ⅰ)利用已知条件通过椭圆的几何量的关系求出a、b,即可求解椭圆方程.
(Ⅱ)直线l的方程为y=k(x-1),设M(x1,y1),N(x2,y2),联立方程组,通过韦达定理,以及向量关系,即可求解k的值.
解答 解:(Ⅰ)依题意$\left\{\begin{array}{l}\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}\\ \sqrt{{a^2}+{b^2}}=\sqrt{3}\end{array}\right.$-------------------(2分)
解得$\left\{\begin{array}{l}{a^2}=2\\{b^2}=1\end{array}\right.$----------------------------(3分)
所以椭圆方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$----------------------------(4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知F(1,0),所以直线l的方程为y=k(x-1)-----------------(5分)
设M(x1,y1),N(x2,y2),由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+{y^2}=1\\ y=k(x-1)\end{array}\right.⇒$(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0-------(7分)
∴${x_1}+{x_2}=\frac{{4{k^2}}}{{1+2{k^2}}}$,y1+y2=k(x1+x2-2)=$\frac{-2k}{{1+2{k^2}}}$--------(8分)
所以$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{λ}(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON})$=$\frac{1}{λ}({x_1}+{x_2},{y_1}+{y_2})$=$(\frac{1}{λ}•\frac{{4{k^2}}}{{1+2{k^2}}},\frac{1}{λ}•\frac{-2k}{{1+2{k^2}}})$-------(9分)
由点P在椭圆上得$\frac{1}{2}•\frac{1}{λ^2}•\frac{{16{k^4}}}{{{{(1+2{k^2})}^2}}}+\frac{1}{λ^2}•\frac{{4{k^2}}}{{{{(1+2{k^2})}^2}}}=1$,
即$\frac{1}{2}•\frac{16{k}^{4}}{{(1+2{k}^{2})}^{2}}+\frac{4{k}^{2}}{{(1+2{k}^{2})}^{2}}={λ}^{2}$…(1)-----------(10分)
由$|{\overrightarrow{OP}}|=2|k|$得$\frac{1}{λ^2}•\frac{{16{k^4}}}{{{{(1+2{k^2})}^2}}}+\frac{1}{λ^2}•\frac{{4{k^2}}}{{{{(1+2{k^2})}^2}}}=4{k^2}$,
即$\frac{16{k}^{4}}{{(1+2{k}^{2})}^{2}}+\frac{4{k}^{2}}{{(1+2{k}^{2})}^{2}}=4{k}^{2}{λ}^{2}$…(2)---------------(11分)
由(1)(2)消去λ2得:$4{k}^{2}•(\frac{8{k}^{4}}{{(1+2{k}^{2})}^{2}}+\frac{4{k}^{2}}{{(1+2{k}^{2})}^{2}})=\frac{16{k}^{4}}{{(1+2{k}^{2})}^{2}}+\frac{4{k}^{2}}{{(1+2{k}^{2})}^{2}}$,
∴8k4+4k2=4k2+1,--------(13分)
∴${k^4}=\frac{1}{8}$,∴$k=±\frac{{\root{4}{2}}}{2}$----------------(14分)
点评 本题考查椭圆方程的求法,直线与椭圆的位置关系的综合应用,考查分析问题解决问题的能力.
| A. | f(x)=x3 | B. | f(x)=-x-1 | C. | f(x)=log2x | D. | f(x)=2x |
| A. | $\frac{1}{2}$ | B. | $\frac{1}{3}$ | C. | $\frac{1}{4}$ | D. | $\frac{1}{5}$ |