Question

设函数f（x）=2lnx+mx-x²．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x+n，求实数m，n的值；
（Ⅱ）若m＞-4，求证：当a＞b＞0时，有

f(a)-f(b)

a2-b2

＞-2；
（Ⅲ）若函数f（x）有两个零点x₁，x₂（x₁＜x₂），且x₀=

x1+x2

2

，求证f′（x₀）＜0．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,导数的运算

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导数，利用若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x+n，建立方程，即可求实数m，n的值；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）+2x²=x²+2lnx+mx，证明g（x）在（0，+∞）上递增，即可证明结论；
（Ⅲ）f′（x₀）=2（

2

x1+x2

-

lnx1-lnx2

x1-x2

）=

2

x1-x2

•[

2(x1-x2)

x1+x2

-（lnx₁-lnx₂）]，证明

2(x1-x2)

x1+x2

-（lnx₁-lnx₂）=

2(t-1)

t+1

-lnt＞0，根据

2

x1-x2

＜0，即可得出结论．

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=2lnx+mx-x²，
∴f′（x）=m+

2

x

-2x，
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x+n，
∴f′（1）=m+2-2=2，
∴m=2，
∵f（1）=2-1+2×1+n，
∴n=-1；
（Ⅱ）证明：设g（x）=f（x）+2x²=x²+2lnx+mx．
∴g′（x）=2x+m+

2

x

∵m＞-4，x＞0，
∴g′（x）=2x+m+

2

x

≥m+4＞0，
∴g（x）在（0，+∞）上递增，
∵a＞b＞0，
∴g（a）＞g（b），
∴f（a）+2a²＞f（b）+2b²，
∴

f(a)-f(b)

a2-b2

＞-2；
（Ⅲ）证明：∵函数f（x）有两个零点x₁，x₂（x₁＜x₂），
∴2lnx₁+mx₁-x₁²=0，2lnx₂+mx₂-x₂²=0，
∴m=x₁+x₂-2•

lnx1-lnx2

x1-x2

，
∵f′（x）=m+

2

x

-2x，x₀=

x1+x2

2

，
∴f′（x₀）=2（

2

x1+x2

-

lnx1-lnx2

x1-x2

）=

2

x1-x2

•[

2(x1-x2)

x1+x2

-（lnx₁-lnx₂）]，
令t=

x1

x2

，则t∈（0，1），
∴

2(x1-x2)

x1+x2

-（lnx₁-lnx₂）=

2(t-1)

t+1

-lnt
设h（t）=

2(t-1)

t+1

-lnt（t∈（0，1）），
则h′（t）=-

(t-1)2

t(t+1)2

＜0，
∴h（t）在（0，1）上单调递减，
∴h（t）＞h（1）=0，
∴

2(x1-x2)

x1+x2

-（lnx₁-lnx₂）=

2(t-1)

t+1

-lnt＞0，
∵

2

x1-x2

＜0，
∴f′（x₀）＜0．

点评：本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，正确构造函数是关键．