Question

在△ABC中，边a，b，c所对的角A，B，C组成一个公差为α的等差数列．
（1）若a=2，c=3，求tanα的值；
（2）若△ABC为锐角三角形，且a+c=λb，求λ的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理,等差数列的性质

专题：计算题,等差数列与等比数列,解三角形

分析：（1）由等差数列的性质可得B=60°，A=60°-α，C=60°+α，再由余弦定理可得b，再由正弦定理，结合两角和差的正弦公式，即可得到所求；
（2）运用正弦定理，结合两角和差的正弦公式和余弦函数的性质，即可得到取值范围．

解答： 解：（1）在△ABC中，边a，b，c所对的角A，B，C组成一个公差为α的等差数列，
则A+C=2B=180°-B，即有B=60°，A=60°-α，C=60°+α，
则b²=a²+c²-2accosB=4+9-2×2×3×

1

2

=7，即b=

7

，
由

2

sin(60°-α)

=

7

sin60°

=

3

sin(60°+α)

，
得，2（sin60°cosα+cos60°sinα）=3（sin60°cosα-cos60°sinα），
即有

3

2

cosα=

5

2

sinα，则tanα=

3

5

；
（2）若△ABC为锐角三角形，则0°＜60°-α＜90°，0°＜60°+α＜90°，
即有-30°＜α＜30°，
由于a+c=λb，则有sinA+sinC=λsinB，
sin（60°-α）+sin（60°+α）=

3

2

λ，
即有2×

3

2

cosα=

3

2

λ，即λ=2cosα，
由于-30°＜α＜30°，则

3

2

＜cosα≤1，
即有

3

＜λ≤2．
则λ的取值范围是：（

3

，2]．

点评：本题考查等差数列的性质，考查正弦定理和余弦定理的运用，考查三角函数的恒等变换该函数的运用，考查运算能力，属于中档题．