Question

已知

a

=(ex，cosx)，

b

=(sinx，ex)，设函数f（x）=

a

•

b

，x∈[0，π]
（Ⅰ）求f（x）的值域；
（Ⅱ）记△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a，b，c，若f（B）=

2

eB，b=1，c=

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（I）由数量积运算法则可得f（x）=e^xsinx+e^xcosx，再利用导数研究其单调性极值与最值即可．
（II）使用正弦定理或余弦定理即可得出．

解答：解：（Ⅰ）由数量积运算法则可得f（x）=e^xsinx+e^xcosx，
∴f′（x）=e^x（sinx+cosx）+e^x（cosx-sinx）=2e^xcosx．
∵x∈[0，

π

2

]，f/(x)＞0且x∈[

π

2

，π]，f/(x)＜0，
∴fmax(x)=f(

π

2

)=e

π

2

，
∵f（0）=1，f（π）=-e^π．
∴f（x）的值域为[-eπ，e

π

2

]．
（Ⅱ）由f(B)=

2

eB，得sin(B+

π

4

)=1，故B=

π

4

．
由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，
得a²-2a+1=0，解得a=1．
解法二：由正弦定理

b

sinB

=

c

sinC

，得sinC=1，C=

π

2

，
∴a=

c2-b2

=1．

点评：本题考查了数量积运算法则、利用导数研究其单调性极值与最值、正弦定理或余弦定理，属于中档题．