题目内容
已知
=(5
cosx，cosx)，
=(sinx，2cosx)，设函数f(x)=
•
+|
|2+
．
（Ⅰ）当x∈[
，
]，求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）当x∈[
，
]时，若f（x）=8，求函数f(x-
)的值．
| a |
| 3 |
| b |
| a |
| b |
| b |
| 3 |
| 2 |
（Ⅰ）当x∈[
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
（Ⅱ）当x∈[
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 12 |
分析：（I）根据向量数量积的坐标公式和模的公式代入，再用二倍角的正、余弦公式和辅助角公式化简，得f（x）=5sin（2x+
）+5，根据x∈[
，
]得2x+
∈[
，
]，结合正弦函数的图象与性质，可得函数f（x）的值域；
（II）根据f（x）=8，得sin（2x+
）=
，再利用配角公式算出sin2x的值，而f(x-
)=5sin2x+5，将sin2x代入即得f(x-
)的值．．
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| 7π |
| 6 |
（II）根据f（x）=8，得sin（2x+
| π |
| 6 |
| 3 |
| 5 |
| π |
| 12 |
| π |
| 12 |
解答：解：（I）∵
•
=5
sinxcosx+2cos2x，
2=sin2x+4cos2x
∴f(x)=
•
+|
|2+
=5
sinxcosx+2cos2x+sin2x+4cos2x+
=
sin2x+3（1+cos2x）+
（1-cos2x）+
=
sin2x+
cos2x+5=5sin（2x+
）+5
∵x∈[
，
]，∴2x+
∈[
，
]
因此，-
≤sin（2x+
）≤1，可得函数f（x）的值域是[
，10]．…（6分）
（Ⅱ）由（I）得5sin（2x+
）+5=8，得sin（2x+
）=
∵x∈[
，
]，∴2x+
∈[
，
]
∴cos(2x+
)=-
=-
，…（10分）
∴sin2x=sin[（2x+
）-
]=
•
-（-
）•
=
因此，f(x-
)=5sin2x+5=
+7．…（12分）
| a |
| b |
| 3 |
| |b| |
∴f(x)=
| a |
| b |
| b |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
=
5
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
=
5
| ||
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| π |
| 6 |
∵x∈[
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| 7π |
| 6 |
因此，-
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 5 |
| 2 |
（Ⅱ）由（I）得5sin（2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 3 |
| 5 |
∵x∈[
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| 7π |
| 6 |
∴cos(2x+
| π |
| 6 |
1-(
|
| 4 |
| 5 |
∴sin2x=sin[（2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 3 |
| 5 |
| ||
| 2 |
| 4 |
| 5 |
| 1 |
| 2 |
3
| ||
| 10 |
因此，f(x-
| π |
| 12 |
3
| ||
| 2 |
点评：本题以向量的数量积运算和模的计算为载体，考查了三角函数的降次公式、辅助角公式和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．
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