Question

已知

a

=(2sinx，cosx)，

b

=(

3

cosx，2cosx)，函数f(x)=

a

•

b

（1）求f（x）的最小正周期；
（2）当x∈[-

π

6

，

π

2

]时，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由向量数量积公式，并利用三角恒等变换化简得f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，由此可得f（x）的最小正周期；
（2）当x∈[-

π

6

，

π

2

]时，算出2x+

π

6

∈[-

π

6

，

7π

6

]．利用三角函数的图象与性质，即可算出f（x）的值域．

解答：解：（1）∵

a

=(2sinx，cosx)，

b

=(

3

cosx，2cosx)，
∴函数f(x)=

a

•

b

=2

3

sinxcosx+2cos²x
=

3

sin2x+（1+cos2x）=2sin（2x+

π

6

）+1
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）∵x∈[-

π

6

，

π

2

]时，2x+

π

6

∈[-

π

6

，

7π

6

]
∴当x=-

π

6

或

π

2

时，函数有最小值0；当x=

π

6

时，函数有最大值为3
当x∈[-

π

6

，

π

2

]时，f（x）的值域的值域为[0，3]．

点评：本题给出向量含有三函数的坐标，求函数的周期与值域．着重考查了向量的数量积、三角恒等变换公式和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．