Question

定义：若函数对于其定义域内的某一数，有，则称是的一个不动点. 已知函数.
（1）当，时，求函数的不动点；
（2）若对任意的实数b，函数恒有两个不动点，求实数的取值范围；
（3）在(2)的条件下，若图象上两个点A、B的横坐标是函数的不动点，且线段AB的中点C在函数的图象上，求实数b的最小值．
(参考公式：若，则线段AB的中点坐标为)

Answer 1

（1）和3；（2）；（3）。

试题分析：(1) 当，时，由，    
解得或，故所求的不动点为和3.  ------------------3分
(2)令，则 ①
由题意，方程①恒有两个不等实根，所以------------5分
即恒成立，       
则，    ------------------8分
(3)依题意设， 则AB中点C的坐标为
又AB的中点在直线上
∴ ------------9分
又是方程①的两个根， ，即，
∴==  ------------11分

∴当  时，b_min=   ------------------12分
点评：做此题的关键是：①理解新定义：求函数的不动点即为求方程=的根；②发现参数b可以表示成参数a的函数即，至此，求参数b最小值的问题转化为求b关于a的函数最小值的问题．