Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的离心率e=

2 3

3

，过A（a，0），B（0，-b）的直线到原点的距离是

3

2

．
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线y=kx+5（k≠0）交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值．

Answer 1

分析：（1）由离心率为

2 3

3

可得

c

a

=

2 3

3

①，原点到直线AB的距离是

3

2

，得

ab

c

=

3

2

②，由①②及c²=a²+b²可求得b，a；
（2）把y=kx+5代入x²-3y²=3中消去y，得x的二次方程，设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），CD的中点是E（x₀，y₀），由C，D都在以B为圆心的圆上，得k_BE=

y0+1

x0

=-

1

k

，由韦达定理及中点坐标公式可得k的方程，解出即可；

解答：解：∵（1）

c

a

=

2 3

3

①，原点到直线AB：

x

a

-

y

b

=1的距离d=

ab

a2+b2

=

ab

c

=

3

2

②，
联立①②及c²=a²+b²可求得b=1，a=

3

，
故所求双曲线方程为 

x2

3

-y2=1．
（2）把y=kx+5代入x²-3y²=3中消去y，整理得 （1-3k²）x²-30kx-78=0．
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），C、D的中点是E（x₀，y₀），
则x1+x2=

30k

1-3k2

，x0=

x1+x2

2

=

15k

1-3k2

，y₀=kx₀+5=

5

1-3k2

，k_BE=

y0+1

x0

=-

1

k

，
∴x₀+ky₀+k=0，即

15k

1-3k2

+k•

5

1-3k2

+k=0，解得k=±

7

，
故所求k=±

7

．

点评：本题考查直线方程、双曲线方程及其位置关系，考查圆的性质，考查学生解决问题的能力．