Question

16．①函数y=cos（x-$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）的最大值为$\frac{1}{4}$；
②函数y=$\frac{x+2}{x-1}$的图象关于点（1，1）对称；
③方程2x²-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④已知命题p：对任意的x∈R，都有sinx≤1，则命题￢p：存在x∈R，使得sinx＞1．
其中所有真命题的序号是②③④．

Answer 1

分析 ①函数y=cos（x-$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）=$sin（x+\frac{π}{4}）$cos（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$$sin（2x+\frac{π}{2}）$=$\frac{1}{2}cos2x$，即可得出最大值，进而判断出正误；
②由函数y=$\frac{x+2}{x-1}$=$\frac{x-1+3}{x-1}$=1+$\frac{3}{x-1}$，即可得出图象的对称性；
③方程2x²-5x+2=0的两根为$\frac{1}{2}$与2，即可判断出正误；
④利用“全称命题”的否定为“特称命题”，即可判断出正误．

解答 解：①函数y=cos（x-$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）=$sin（x+\frac{π}{4}）$cos（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$$sin（2x+\frac{π}{2}）$=$\frac{1}{2}cos2x$的最大值为$\frac{1}{2}$，因此不正确；
②函数y=$\frac{x+2}{x-1}$=$\frac{x-1+3}{x-1}$=1+$\frac{3}{x-1}$的图象关于点（1，1）对称，正确；
③方程2x²-5x+2=0的两根$\frac{1}{2}$与2可分别作为椭圆和双曲线的离心率，正确；
④已知命题p：对任意的x∈R，都有sinx≤1，则命题￢p：存在x∈R，使得sinx＞1，正确．
其中所有真命题的序号为②③④．
故答案为：②③④．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质、诱导公式、反比例函数的对称性、一元二次方程的实数根、椭圆与双曲线的离心率、简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．