Question

6．（1）若复数z₁=a+i，z₂=1-i（i为虚数单位）且z₁•z₂为纯虚数，求实数a的值．
（2）已知函数f（x）=xlnx，求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用复数的运算法则及纯虚数的定义即可得出；
（2）f′（x）=lnx+1，分别令f′（x）＞0；令f′（x）＜0，即可得出函数f（x）单调性．对t与$\frac{1}{e}$的大小关系分类讨论：当t≥$\frac{1}{e}$时，当$0＜t＜\frac{1}{e}$时，再利用其单调性即可得出．

解答 解：（1）z₁•z₂=（a+i）（1-i）=（a+1）+（1-a）i为纯虚数，∴$\left\{\begin{array}{l}{a+1=0}\\{1-a≠0}\end{array}\right.$，解得a=-1．
（2）f′（x）=lnx+1，令f′（x）＞0，解得x$＞\frac{1}{e}$，此时函数f（x）单调递增；令f′（x）＜0，解得0＜x$＜\frac{1}{e}$，此时函数f（x）单调递减．
①当t≥$\frac{1}{e}$时，函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上单调递增，∴当x=t时，函数f（x）取得最小值，f（t）=tlnt；
②当$0＜t＜\frac{1}{e}$时，函数f（x）在[t，$\frac{1}{e}$）上单调递减，函数f（x）在$（\frac{1}{e}，t+2]$上单调递增．
∴当x=$\frac{1}{e}$时，函数f（x）取得最小值，$f（\frac{1}{e}）$=-$\frac{1}{e}$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性、复数的运算法则及纯虚数的定义，考查了分类讨论、推理能力与计算能力，属于难题．