Question

4．设函数f（x）=|x+1|+|x-5|-m
（Ⅰ）若函数$y=\sqrt{f（x）}$的定义域为R，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若$f（x）≥\frac{9}{m}$对任意的实数x恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据绝对值的意义求得（|x+1|+|x-5|）_min，可得m的范围．
（Ⅱ）不等式等价于m+$\frac{9}{m}$≤6，当m＜0时，上式成立； 当m＞0时利用基本不等式可得m=3时，m+$\frac{9}{m}$≤6成立，综上可得实数m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）若函数$y=\sqrt{f（x）}$的定义域为R，则m≤|x+1|+|x-5|对x∈R恒成立，
所以m≤（|x+1|+|x-5|）_min，又|x+1|+|x-5|≥|x+1-（x-5）|=6，所以m≤6，
即实数m的取值范围为（-∞，6]．
（Ⅱ）$f（x）≥\frac{9}{m}$对任意的实数x恒成立$?|x+1|+|x-5|≥m+\frac{9}{m}$对任意的实数x恒成立，$?m+\frac{9}{m}≤6$，
当m＜0时，上式成立；   当m＞0时$m+\frac{9}{m}≥2\sqrt{m•\frac{9}{m}}=6$，当且仅当$m=\frac{9}{m}$，即m=3时上式取等号；
综上实数m的取值范围为（-∞，0）∪{3}．

点评 本题主要考查绝对值的意义，函数的恒成立问题，基本不等式的应用，属于中档题．