题目内容
如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，∠ABD=60°，∠BDC=45°，PD垂直底面ABCD，PD=2
R，E，F分别是PB，CD上的点，且
，过点E作BC的平行线交PC于G，
（1）求BD与平面ABP所成角θ的正弦值；
（2）证明：△EFG是直角三角形；
（3）当
时，求△EFG的面积．
R，E，F分别是PB，CD上的点，且，过点E作BC的平行线交PC于G，（1）求BD与平面ABP所成角θ的正弦值；
（2）证明：△EFG是直角三角形；
（3）当
时，求△EFG的面积． 
解：（1）在Rt△BAD中，
，
∴
，
而PD垂直底面ABCD，
，
，
在△PAB中，
，
即△PAB为以∠PAB为直角的直角三角形，
设点D到面PAB的距离为H，
由
，有
，
即
，
；
（2）
，∴
，
而
，即
，
∴
，∴GF⊥BC，∴GF⊥EG，
∴△EFG是直角三角形；
（3）
时，
，
，
即
，
∴△EFG的面积
。
，∴
，而PD垂直底面ABCD，
，，在△PAB中，
，即△PAB为以∠PAB为直角的直角三角形，
设点D到面PAB的距离为H，
由
，有，即
，；（2）
，∴，而
，即，∴
，∴GF⊥BC，∴GF⊥EG，∴△EFG是直角三角形；
（3）
时，，，即
，∴△EFG的面积
。 
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