Question

（本小题满分14分）已知函数

（1）求函数的单调递增区间；

（2）记函数的图象为曲线C．设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是曲线C上的不同两点．如果在曲线C上存在点M（x₀，y₀），使得：①；②曲线C在点M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）夺在“中值相依切线”，

试问：函数f（x）是否存在“中值相依切线”，请说明理由．

 

 

Answer 1

【答案】

21解：（Ⅰ） 函数的定义域是.                   ………1分

由已知得，.         ………2分

ⅰ 当时, 令,解得;函数在上单调递增

ⅱ 当时，

①当时，即时, 令,解得或;

函数在和上单调递增

②当时，即时, 显然，函数在上单调递增；

③当时，即时, 令,解得或

函数在和上单调递增                  。。。。。。。。。。。6分

综上所述:

⑴当时,函数在上单调递增

⑵当时,函数在和上单调递增

⑶当时,函数在上单调递增；

⑷当时,函数在和上单调递增   ………….7分

(Ⅱ)假设函数存在“中值相依切线”.

设,是曲线上的不同两点，且，

则，.

                          …………9分

曲线在点处的切线斜率

，

依题意得：.

化简可得： ， 即=.   ….11分

设 ()，上式化为：,

.   令,.

因为,显然，所以在上递增,

显然有恒成立.

所以在内不存在,使得成立.

综上所述，假设不成立.所以，函数不存在“中值相依切线”. …..14分

 

【解析】略