Question

过抛物线的对称轴上一点的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向直线作垂线，垂足分别为、。  
（Ⅰ）当时，求证：⊥；
（Ⅱ）记、 、的面积分别为、、，是否存在，使得对任意的，都有成立。若存在，求值；若不在，说明理由。

Answer 1

（Ⅰ）略
（Ⅱ）存在，使得对任意的，都有成立，证明略

解：本小题主要考察抛物线的定义和几何性质等平面解析几何的基础知识，
考查综合运用数学知识进行推理运算的能力。（12分）
依题意，可设直线MN的方程为，则有

由消去x可得                     ……………2分   
从而有          ①
于是    ②
又由，可得  ③…………4分   
（Ⅰ）如图1，当时，点即为抛物线的焦点，为其准线
此时 ①可得        ……………5分
证法1：
        ……………6分
证法2：
            …………6分
         
(Ⅱ)存在，使得对任意的，都有成立，证明如下：
证法1：记直线与x轴的交点为,则。于是有
                           ………8分  
   ………10分
将①、②、③代入上式化简可得

上式恒成立，即对任意成立                                                                                                                 ……………12分
证法2：如图2，连接,则由可得
,
所以直线经过原点O，同理可证直线也经过原点O  ……………9分
又设
则            …………12分