Question

9．在[0，$\frac{π}{2}$]上任取一个实数，使$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$的概率为$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 首先将不等式的左边化简为一个复合角的形式，然后在[0，$\frac{π}{2}$]上求出满足不等式的x的范围，再由几何概型公式解答即可．

解答 解：因为$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx=sin（x+$\frac{π}{3}$），
因为x∈[0，$\frac{π}{2}$]⇒x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，当x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]时，sin（x+$\frac{π}{3}$）≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由几何概型公式得到使$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$的概率为$\frac{\frac{π}{3}}{\frac{π}{2}}=\frac{2}{3}$；
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了三角函数的化简以及几何概型；关键是正确化简三角函数为一个复合角，一个三角函数名称的形式，得到满足不等式的x范围，再利用几何概型公式解答．