Question

【题目】已知函数，，．

（1）当，时，求函数的单调区间；

（2）当时，若对任意恒成立，求实数的取值范围；

（3）设函数的图象在两点，处的切线分别为，，若，，且，求实数的最小值．

Answer 1

【答案】（1）单调减区间是，单调增区间是（2）（3）

【解析】

试题分析：（1）先化简分段函数，分段分别求导，即再求导函数零点：当，无零点，单调减；当，有一个零点，列表分析得在上单调递减；在上单调递增；最后综合函数图像得函数单调区间（2）不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题，即，因此转化为利用导数求函数最小值：当，时，，求其定于区间上零点为1，列表分析函数单调性，确定函数极值，即最值，最后解不等式得负数的取值范围；（3）由导数几何意义得，由分段点可确定，而需分类讨论：若，则；若，则，分别代入，探求实数的解的情况：，，先求出的取值范围，再利用导数求函数最小值

试题解析：函数求导得

（1）当，时，

①若，则恒成立，所以在上单调递减；

②若，则，令，解得或（舍去），

若，则，在上单调递减；

若，则，在上单调递增；

综上，函数的单调减区间是，单调增区间是．

（2）当，时，，而，

所以当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增；

所以函数在上的最小值为，

所以恒成立，解得或（舍去），

又由，解得，

所以实数的取值范围是．

（3）由知，，而，则，

若，则，

所以，解得，不合题意，

故，则，

整理得，

由，得，令，则，，

所以，设，则，

当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增；

所以函数的最小值为，

故实数的最小值为．