Question

6．不等$\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{λ}{c-a}＜0$对满足a＞b＞c恒成立，则λ的取值范围 （　　）

• A． （-∞，0]
• B． （-∞，1）
• C． （-∞，4]
• D． （4，+∞）

Answer 1

分析 由a＞b＞c，可得（a-b+b-c）$（\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}）$=2+$\frac{b-c}{a-b}$+$\frac{a-b}{b-c}$≥4．可得$\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}$+$\frac{4}{c-a}$≥0，即可得出λ的取值范围．

解答 解：∵a＞b＞c，
∴（a-b+b-c）$（\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}）$
=2+$\frac{b-c}{a-b}$+$\frac{a-b}{b-c}$
≥2+2$\sqrt{\frac{b-c}{a-b}•\frac{a-b}{b-c}}$=4，当且仅当b-c=a-b＞0时取等号．
∴$\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}$≥$\frac{4}{a-c}$，
即$\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}$+$\frac{4}{c-a}$≥0，
由于不等式$\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{λ}{c-a}＜0$对满足a＞b＞c恒成立，
∴λ＞4，
故选：D．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．