Question

1．在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a、b、c成等比数列．
（1）求B的范围
（2）求y=$\frac{sinB•cosB}{1+sinB+cosB}$的范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意得出，b²=ac，利用余弦定理，基本不等式求解cos∠B=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2ac}$-$\frac{1}{2}$≥$\frac{1}{2}$，根据余弦函数的单调性得出答案．
（2）利用三角函数恒等变换的应用化简可得y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（B+$\frac{π}{4}$）-$\frac{1}{2}$，由B∈（0，$\frac{π}{3}$]，可得B+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{7π}{12}$]，利用正弦函数的图象和性质可求sin（B+$\frac{π}{4}$）∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，即可得解y的范围．

解答 解：（1）∵△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，
∴cos∠B=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，b²=ac，
∵a²+c²≥2ac（a=c等号成立），
∴$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2ac}$≥1，
∴cos∠B=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2ac}$-$\frac{1}{2}$≥$\frac{1}{2}$，
∵0＜B＜π，y=cosB单调递减，
∴B∈（0，$\frac{π}{3}$]．
（2）y=$\frac{sinB•cosB}{1+sinB+cosB}$=$\frac{2sin\frac{B}{2}cos\frac{B}{2}cosB}{2cos\frac{B}{2}（sin\frac{B}{2}+cos\frac{B}{2}）}$=$\frac{sin\frac{B}{2}cosB}{sin\frac{B}{2}+cos\frac{B}{2}}$=$\frac{sin\frac{B}{2}cosB（cos\frac{B}{2}-sin\frac{B}{2}）}{cosB}$=$\frac{1}{2}$（sinB+cosB）-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（B+$\frac{π}{4}$）-$\frac{1}{2}$．
∵B∈（0，$\frac{π}{3}$]．B+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{7π}{12}$]，sin（B+$\frac{π}{4}$）∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∴y=$\frac{sinB•cosB}{1+sinB+cosB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（B+$\frac{π}{4}$）-$\frac{1}{2}$∈（0，$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$]．

点评 本题考查等比数列的性质，正弦函数的图象和性质，考查了三角函数恒等变换的应用，考查了运用余弦定理，基本不等式求解，属于中档题．