Question

已知sinx+cosx=-1，则sin²⁰⁰⁵x+cos²⁰⁰⁵x的值为（　　）

A．0

B．1

C．-1

D．±1

Answer 1

分析：可利用辅助角公式将sinx+cosx化为：sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）=-1，从而求得x=2kπ-π或x=2kπ-

π

2

（k∈Z），分类讨论即可；也可以将sinx+cosx=-1两端平方，求得sinxcosx=0，分类讨论即可．

解答：解：∵sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）=-1，
∴sin（x+

π

4

）=-

2

2

，
∴x+

π

4

=2kπ-

3π

4

或x+

π

4

=2kπ-

π

4

，k∈Z．
∴x=2kπ-π或x=2kπ-

π

2

．k∈Z
当x=2kπ-π，cosx=-1，sinx=0，
∴sin²⁰⁰⁵x+cos²⁰⁰⁵x=-1；
当x=2kπ-

π

2

，cosx=0，sinx=-1，
∴sin²⁰⁰⁵x+cos²⁰⁰⁵x=-1．
综上所述，sin²⁰⁰⁵x+cos²⁰⁰⁵x的值为-1．
故选C．

点评：本题考查三角函数的化简求值，关键在于利用辅助角公式，再结合正弦函数的图象与性质，通过分类讨论的思想解决，属于中档题．