Question

【题目】已知椭圆的离心率为，且过点．

（1）求的方程；

（2）是否存在直线与相交于两点，且满足：①与（为坐标原点）的斜率之和为2；②直线与圆相切，若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：

（1）由离心率，已知点坐标代入得及可解得得标准方程；

（2）存在性问题，假设直线存在，把代入的方程得，同时设，则可得，①

代入得出的一个等式，再由直线和圆相切又得一个等式，联立可解得，同时注意直线与椭圆相交的条件，如满足则说明存在．

试题解析：

（1）由已知得，

解得，∴椭圆的方程为；

（2）把代入的方程得：

，

设，则，①

由已知得，

∴，②

把①代入②得，

即，③

又，

由，得或，

由直线与圆相切，则 ④

③④联立得（舍去）或，∴，

∴直线的方程为．