Question

【题目】如果函数的定义域为，且存在实常数，使得对于定义域内任意，都有成立，则称此函数具有“性质”.

（1）判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”，求出所有的值的集合，若不具有“性质”，请说明理由；

（2）已知函数具有“性质”，且当时，，求函数在区间上的值域；

（3）已知函数既具有“性质”，又具有“性质”，且当时，，若函数的图像与直线有2017个公共点，求实数的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2），函数的值域为；，函数的值域为；，函数的值域为；，函数的值域为；（3）.

【解析】

（1）根据题意可知，由待定系数法可求得；

（2）由新定义可推出为偶函数，从而求出在上的解析式，讨论m与的关系判断的单调性得出的最值；
（3）根据新定义可知为周期为2的偶函数，作出的函数图象，根据函数图象得出p的值.

（1）假设具有“性质”，则恒成立，

等式两边平方整理得，，因为等式恒成立，

所以，解得，

则所有的值的集合为；

（2）因为函数具有“性质”，

所以恒成立，是偶函数.
设，则，.
①当时，函数在上递增，值域为.
②当时，函数在上递减，在上递增，
，，值域为.
③当时，，，值域为.
④时，函数在上递减，值域为.
（3）既具有“性质”，即，函数为偶函数，
又既具有“性质”，即，
函数是以2为周期的函数.
作出函数的图象如图所示：

由图象可知，当时，函数与直线交于点，即有无数个交点，不合题意.
当时，在区间上，函数有1008个周期，要使函数的图象与直线有2017个交点，
则直线与函数y=g(x)的图像在每个周期内都应有2个交点，且第2017个交点恰好为，所以，
同理，当时，，
综上，.