Question

证明：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n

＞

n+2

2

（n∈N，n≥2）．

Answer 1

分析：用数学归纳法证明：
（1）检验n=2时，不等式成立，
（2）假设n=k时，不等式成立，
在此基础上推证 n=k+1 时，不等式也成立，
从而说明：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n

＞

n+2

2

（n∈N，n≥2）成立．
注意 n=k+1 时不等式左边 比n=k时的左边多出了2^k项：（

1

2k+1

+

1

2k+2

+…+

1

2k+2k

）

解答：解：（1）当n=2时，不等式左边=1+

1

2

+

1

3

+

1

4

=

25

12

，不等式右边=

4

2

=2，不等式成立，
（2）假设n=k时，不等式成立，即 1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2k

＞

k+2

2

成立，
则 1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2k

+（

1

2k+1

+

1

2k+2

+…+

1

2k+2k

）＞

k+2

2

+（

1

2k+1

+

1

2k+1

+…+

1

2k+1

）=

k+2

2

+（

2k

2k+1

）
=

k+2

2

+

1

2

=

k+3

2

∴n=k+1时，不等式也成立
综合（1）、（2）知，1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n

＞

n+2

2

（n∈N，n≥2）成立．

点评：注意：（1）证 n=k+1时，不等式成立，要应用假设
（2）n=k+1 时，不等式左边 比n=k时的左边多出了2^k项：（

1

2k+1

+

1

2k+2

+…+

1

2k+2k

）