Question

（2012•丰台区二模）已知函数f（x）=lnx，g(x)=ax+

b

x

，两函数图象的交点在x轴上，且在该点处切线相同．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求证：当x＞1时，f（x）＜g（x）成立；
（Ⅲ）证明：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln(n+1)（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用f（x）与g（x）的图象在x轴上有公共点（1，0），可得一等式，再利用在该点处切线相同，可得另一等式，由此可求a，b的值；
（Ⅱ）构造函数F(x)=f(x)-g(x)=lnx-(

1

2

x-

1

2x

)，求导数，确定F（x）在x＞1时单调递减，即可证得结论；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，

1

2

(x-

1

x

)＞lnx（x＞1），令x=

k+1

k

，可得ln(k+1)-lnk＜

1

2

(

1

k

+

1

k+1

)，k=1，2，3…，n，将上述n个不等式依次相加，即可证得结论．

解答：（Ⅰ）解：因为f（x）与g（x）的图象在x轴上有公共点（1，0），所以g（1）=0，即a+b=0．
又因为f′(x)=

1

x

，g′(x)=a-

b

x2

，
由题意f'（1）=g'（1）=1，所以a-b=1
所以a=

1

2

，b=-

1

2

．                         …（4分）
（Ⅱ）证明：设F(x)=f(x)-g(x)=lnx-(

1

2

x-

1

2x

)，则F′(x)=

1

x

-

1

2

-

1

2x2

=-

1

2

(

1

x

-1)2＜0．
所以F（x）在x＞1时单调递减．
由F（1）=0可得当x＞1时，F（x）＜0，即f（x）＜g（x）．   …（9分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）得，

1

2

(x-

1

x

)＞lnx（x＞1）．
令x=

k+1

k

，则ln

k+1

k

＜

1

2

(

k+1

k

-

k

k+1

)=

1

2

[(1+

1

k

)-(1-

1

k+1

)]=

1

2

(

1

k

+

1

k+1

)，
所以ln(k+1)-lnk＜

1

2

(

1

k

+

1

k+1

)，k=1，2，3…，n．
将上述n个不等式依次相加得 ln(n+1)＜

1

2

+(

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)+

1

2(n+1)

，
所以1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln(n+1)+

n

2(n+1)

＞ln(n+1)．  …（13分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查不等式的证明，解题的关键是构建新函数，确定函数的单调性，属于中档题．