Question

（2012•武汉模拟）已知函数f（x）=ln（1+x）-ax在x=-

1

2

处的切线的斜率为1．
（Ⅰ）求a的值及f（x）的最大值；
（Ⅱ）证明：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln（n+1）（n∈N^*）；
（Ⅲ）设g（x）=b（e^x-x），若f（x）≤g（x）恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（-1，+∞）．求导数，利用函数f（x）=ln（1+x）-ax在x=-

1

2

处的切线的斜率为1，可求a的值，再确定函数的单调性，从而可求f（x）的最大值；
（Ⅱ）法（一）：由（Ⅰ），得ln（1+x）-x≤0，即ln（1+x）≤x，当且仅当x=0时，等号成立．令x=

1

k

（k∈N^*），从而可得

1

k

＞ln（k+1）-lnk（k=1，2，…，n），将上述n个不等式依次相加，即可证得结论；
法（二）：先证明当n=1时，不等式成立；再假设当n=k时，不等式成立，结合x＞ln（1+x）（x＞-1，且x≠0）及x=

1

k+1

，即可证得结论；
（Ⅲ）先确定b≥0．由（Ⅰ），知f（x）_max=f（0）=0，再求g（x）的最小值，从而可求实数b的取值范围．

解答：（Ⅰ）解：函数f（x）的定义域为（-1，+∞）．
求导数，得f′（x）=

1

1+x

-a．
由已知，∵函数f（x）=ln（1+x）-ax在x=-

1

2

处的切线的斜率为1
∴f′（-

1

2

）=1，即

1

1+(- 1 2 )

-a=1，∴a=1．
此时f（x）=ln（1+x）-x，f′（x）=

1

1+x

-1=

-x

1+x

，
当-1＜x＜0时，f′（x）＞0；当x＞0时，f′（x）＜0．
∴当x=0时，f（x）取得极大值，该极大值即为最大值，
∴f（x）_max=f（0）=0．…（4分）
（Ⅱ）证明：法（一）：由（Ⅰ），得ln（1+x）-x≤0，
即ln（1+x）≤x，当且仅当x=0时，等号成立．
令x=

1

k

（k∈N^*），则

1

k

＞ln（1+

1

k

），即

1

k

＞ln

k+1

k

，
∴

1

k

＞ln（k+1）-lnk（k=1，2，…，n）．
将上述n个不等式依次相加，得
1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞（ln2-ln1）+（ln3-ln2）+…+[ln（n+1）-lnn]，
∴1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln（n+1）（n∈N^*）．…（10分）
法（二）：用数学归纳法证明．
（1）当n=1时，左边=1=lne，右边=ln2，∴左边＞右边，不等式成立．
（2）假设当n=k时，不等式成立，即1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

＞ln（k+1）．
那么1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

+

1

k+1

＞ln（k+1）+

1

k+1

，
由（Ⅰ），知x＞ln（1+x）（x＞-1，且x≠0）．
令x=

1

k+1

，则

1

k+1

＞ln（1+

1

k+1

）=ln

k+2

k+1

，
∴ln（k+1）+

1

k+1

＞ln（k+1）+ln

k+2

k+1

=ln（k+2），
∴1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

+

1

k+1

＞ln（k+2）．
即当n=k+1时，不等式也成立．…（10分）
根据（1）（2），可知不等式对任意n∈N^*都成立．
（Ⅲ）解：∵f（0）=0，g（0）=b，若f（x）≤g（x）恒成立，则b≥0．
由（Ⅰ），知f（x）_max=f（0）=0．
（1）当b=0时，g（x）=0，此时f（x）≤g（x）恒成立；
（2）当b＞0时，g′（x）=b（e^x-1），
当x∈（-1，0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；
当x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．
∴g（x）在x=0处取得极小值，即为最小值，
∴g（x）_min=g（0）=b＞0≥f（x），即f（x）≤g（x）恒成立．
综合（1）（2）可知，实数b的取值范围为[0，+∞）．…（14分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查数学归纳法，考查恒成立问题，解题的关键是理解导数的几何意义，掌握数学归纳法的证题步骤，确定函数的最值，综合性强．