Question

【题目】如图，在四棱锥中， ，且．

（Ⅰ）当时，证明：平面平面；

（Ⅱ）当四棱锥的体积为，且二面角为钝角时，求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)

【解析】试题分析：（Ⅰ）取的中点，连接，由正三角形的性质可得，由勾股定理可得，根据线面垂直的判定定理可得平面，从而根据面面垂直的判定定理可得平面平面；（Ⅱ）根据四棱锥的体积为，可得，∴，以为坐标原点，以为轴， 轴．在平面内过点作垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，算出直线的方向向量与平面的法向量，根据空间向量夹角的余弦公式可得结果.

试题解析：（Ⅰ）取的中点，连接，

∵为正三角形，∴，

∵，∴，

∵，∴，

∴四边形为矩形，∴，

在中， ， ， ，∴，∴，

∵，∴平面，

∵平面，∴平面平面．

（Ⅱ）∵， ， ，

平面，∴平面，

∵平面，∴平面平面，

∴过点作平面，垂足一定落在平面与平面的交线上．

∵四棱锥的体积为，

∴ ，∴，

∵，∴．

如图，以为坐标原点，以为轴， 轴．

在平面内过点作垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，

由题意可知， ， ， ， ， ，

设平面的一个法向量为，则，得，

令，则，∴，

，设直线与平面所成的角为，

则 ．

则直线与平面所成角的正弦值为．

【方法点晴】本题主要考查利用线面垂直、面面垂直的判定定理以及空间向量求线面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.