Question

【题目】圆周上有800个点，依顺时针方向标号为，它们将圆周分成800个间隙.今选定某一点染成红色，然后按如下规则，逐次染红其余的一些点：如果第号点已被染红，则可按顺时针方向转过个间隙，再将所到达的那个端点染红.如此继续下去.试问圆周上最多可得到多少个红点？证明你的结论.

Answer 1

【答案】25

【解析】

一般地，对一个有个点的圆周，我们把按题设规则所能染红的点数的最大值记为.

若圆周上有个点，第一个被染红的点的标号为.

（1）若是一个偶数，那么，所有染红的点的标号均为偶数，其过程相当于在一个有个点的圆周上，第一个染红的点的标号为的染点的过程，所以，两圆周上所染红的点数相同；

（2）若，其所染红的第2个点的标号为，是偶数，因此，其染红的点数比有个点的圆周上第一个染红的点的标号为的染点的过程所得的红点数多1.

综上所述，得.

由此可得

.

对有25个点的圆周，不妨从1号点开始染红，则可顺次得标号为1，2，4，8，16，7，14，3，6，12，24，23，21，17，9，18，11，22，19，13的20个红点，故有.

反之，显然若有 个红点的标号是5的倍数，则全部红点的标号均为5的倍数.此时，红点数小于或等于5.所以，达到最大值的染红过程不含标号为5的倍数的点.从而，有，即.

因此，.